差商與牛頓基本插值公式

n次牛頓插值多項式為

Nn?x??a0?a1?x?x0??a2?x?x0??x?x1????an?x?x0??x?x1???x?xn?1?

定義零階差商為

f?xi??f?xi?

定義f?x?在點xi,xj處的一階差商為

f??xi,xj???

f?xj??f?xi?xj?xi

?

f?xi?f?xj??

xi?xjxi?xj

定義f?x?在點xi,xj,xk處的二階差商為

f??xi,xj,xk???

f?f?xj?f?xi?f?xk??xj,xk???f??xi,xj?????

xk?xixi?xj?xi?xk?xj?xixj?xk?xk?xi?xk?xj定義f?x?在點x0,x1,?,xm處的m階差商為

f?x0,x1,?,xm??

f?x1,?,xm???x0,x1,?,xm?1?

xm?x0

??

j?0

m

x

j

?x0?xj?xj?1xj?xj?1?xj?xmf?xj?

通過上式可以發(fā)現差商具有對稱性，即任意調換節(jié)點的次序，不會影響差商的值，例如

f?x0,x1,x2??f?x1,x2,x0??f?x1,x0,x2?

通過滿足插值條件Nn?xi??f?xi?

?i?0,1,2,?,n?，有

Nn?x0??f?x0??a0?a0?f?x0?

Nn?x1??f?x1??a0?a1?x1?x0??a1?

f?x1??f?x0?

?f?x0,x1?

x1?x0

Nn?x2??f?x2??a0?a1?x2?x0??a2?x2?x0??x2?x1?

f?x2??f?x0?

?f?x0,x1?

f?x2??f?x0??f?x0,x1??x2?x0?f?x0,x2??f?x1,x0?x2?x0

?a2???

x2?x0x2?x1x2?x1x2?x1?f?x1,x0,x2??f?x0,x1,x2?

同理可證ak?f?x0,x1,?,xk??k?0,1,2,?,n?

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