三角形的周長(zhǎng)和面積平分線.doc

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三角形的周長(zhǎng)和面積平分線
例年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題如果一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)都被一直線所平分，那么該直線必通過這個(gè)三角形的…………………　　
　　內(nèi)心　外心　重心　垂心
　　
分析：當(dāng)該直線過三角形的頂點(diǎn)時(shí)，三角形是等腰三角形，這條直線下文筆者稱具有這樣特征的直線為三角形的周積平分線是底邊的中垂線，顯然它過內(nèi)心、外心、重心和垂心。當(dāng)該直線不過三角形的頂點(diǎn)時(shí)，結(jié)論三角形的周積平分線，一定經(jīng)過此三角形的內(nèi)心

　　證明：如圖，設(shè)為△的一條周積平分線，為△的內(nèi)心，令△的內(nèi)切圓半徑為



　　不失一般性，設(shè)△的三邊長(zhǎng)為，，，三邊兩兩互不相等，記，令、兩點(diǎn)分別在邊、上

　　∵

+　　連接、、、、，則





　　又∵

++∴

∴，，三點(diǎn)共線，即經(jīng)過點(diǎn)

　　可見，任意一個(gè)三角形，它至少存在一條周積平分線，最多有三條周積平分線如等邊三角形這些周積平分線必過此三角形的內(nèi)心

而且，可以證明過內(nèi)心的一條直線只要平分了周長(zhǎng)也就必然平分面積；同樣可以證明過內(nèi)心的一條直線平分面積也必然平分周長(zhǎng)，它們互為充要條件。下文筆者將側(cè)重于展示過三角形的內(nèi)心平分三角形的面積和過三角形的內(nèi)心平分三角形的周艸さ鬧芑�平分线的尺规作蛿Dā?br>
若三角形是等腰三角形，那么它的一條周積平分線過它的頂角頂點(diǎn)和底邊中點(diǎn)。

所以，下面筆者把研究的重心放在三邊互不相等的三角形上：

、過內(nèi)心作一直線，使該直線將△的面積平分為兩等份如圖

作法：①取的中點(diǎn)，作△∽△兩個(gè)三角形所處的位置猶如繞點(diǎn)發(fā)生了位似旋轉(zhuǎn)變換，、、三點(diǎn)在一條直線上；

②再作的垂直平分線并且在該垂直平分線上取一點(diǎn)，使∠∠；

③以為圓心，為半徑作圓，該圓與相交于點(diǎn)取與點(diǎn)較遠(yuǎn)的交點(diǎn)，則由、兩點(diǎn)所確定的直線平分△的面積。

注意：①作△時(shí)，要讓；②以為圓心，為半徑作圓，該圓在邊上要有交點(diǎn)與點(diǎn)較遠(yuǎn)的交點(diǎn)必須在線段上，如果不能滿足這兩點(diǎn)，就換另外兩個(gè)頂點(diǎn)或中點(diǎn)試試

證明：由△∽△可得：……，∠∠，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，因、、三點(diǎn)共圓，所以⌒對(duì)的圓周角∠∠∠∠∠，所以∠∠+∠∠+∠∠，很容易證明△∽△，由此可得，結(jié)合式可知道，從而有∠∠，由于點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以有：∠即×∠，故直線平分△的面積。

也可由變形成比例式：，所以連結(jié)、圖略，則∥，再連結(jié)得中線圖略，利用兩平行線之間同底等高的三角形面積相等的原理，易證：，這樣就可以回避用正弦定理擴(kuò)展出的三角形面積公式來理解：直線平分△的面積了。

那